HUNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
数字信号处理
实验报告
实验四IIR数字滤波器的设计
学
生
姓
名
张 志 翔
班
级
电子信息工程1203班
学
号
12401720522
指
导
教
师
2015429
实验四IIR数字滤波器的设计
一、 实验目的：
掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计 IIR数字滤波器的具体 设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、 高通和带通IIR数字滤波器的MATLA编程。
观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了
解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。
熟悉Butterworth滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率 特性。
二、 实验原理：
1 .脉冲响应不变法 用数字滤波器的单位脉冲响应序列 模仿模拟滤波器的冲激响应，让 正好等于 的采样值，即，其中 为采样间隔，如果以 及 分别表示 的 拉式变换及的Z变换，则
1 2
H(z)zesT 〒 Ha(s j—m)
I m I
2.双线性变换法
S 平面与z平面之间满足以下映射关系:
1 Is
1 Ts
1 Ts
(s
j；z rej )
s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完
全映射到z平面的单位圆内 双线性变换不存在混叠问题。
双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变
双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变
可通过预畸而得到校正
三、实验内容及步骤：
实验中有关变量的定义：
fc通带边界频率；fr 阻带边界频率；3 通带波动；At最小阻
带衰减；fs采样频率；T采样周期
=0.3KHz, S =0.8Db, =0.2KHz, At =20Db,T=1ms;
设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足 要求。
MATLA源程序：
wp=2*1000*ta n(2*pi*300/(2*1000));
ws=2*1000*ta n(2*pi*200/(2*1000));
[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,'s'); %给定通带(wp)和阻带(ws)
边界角频率，通带波动波动0.8，阻带最小衰减20dB,求出最低阶数 和通带滤波器的通带边界频率 Wn
[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');% 给定通带(wp)和阻带(ws)
边界角频率，通带波动
[nu m,de n]=bili near(BA 1000);
[h,w]=freqz (nu m,de n);
f=w/(2*pi)*1000;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([0,500,-80,10]);
grid;xlabel(' 频率');ylabel(' 幅度 /dB')
程序结果
num = 0.0304 -0.1218
num = 0.0304 -0.1218
0.1827 -0.1218
0.0304
den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286系统函数：=0.0304 -0.1218Z
den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286
系统函数：
=0.0304 -0.1218Z1 0.1827z2-0.1218z3 0.0304z4
=1.0000+1.3834z1+1.4721z2+ 0.8012z3+0.2286z4
幅频响应图:
Figure 1File Edit View Insert Tools Desktop Window Help□曰￡空| 脅?
Figure 1
File Edit View Insert Tools Desktop Window Help
□曰￡空| 脅?熄貳TD| 口图|?口
m蚩■￡
分析：由图可知，切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹，阻带单调衰
减的。3 =0.8，fr=0.2kHz,At=30Db,满足设计要求
fc=0.2kHz, S =1dB,fr=0.3kHz,At=25dB,T=1ms;分别用脉冲响 应不变法及双线性变换法设计一 Butterworth数字低通滤波器，观察 所设计数字滤波器的幅频特性曲线， 记录带宽和衰减量，检查是否满 足要求。比较这两种方法的优缺点。
MATLA源 程序：
T = 0.001;fs = 1000;fc = 200;fr = 300;
wp1 = 2*pi*fc;wr1 = 2*pi*fr;
[N1,w n1] = buttord(wp1,wr1,1,25,'s')
[B1,A1] = butter(N1,w n1,'s');
[nu m1,de n1] = imp in var(B1,A1,fs);% 脉冲响应不变法
[h1,w] = freqz (nu m1,de n1);
wp2 = 2*fs*ta n(2*pi*fc/(2*fs))
wr2 = 2*fs*ta n(2*pi*fr/(2*fs))
[N2,w n2] = buttord(wp2,wr2,1,25,'s')
[B2,A2] = butter(N2,w n2,'s');
[nu m2,de n2] = bili near(B2,A2,fs);% 双线性变换法
[h2,w] = freqz (nu m2,de n2);
f = w/(2*pi)*fs;
plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');
axis([0,500,-100,10]);grid;xlabel('频率 /Hz ');ylabel(' 幅度/dB'）title（' 巴特沃思数字低通滤波器'）;legend（'脉冲相应不变法','双线性变换法',1）;结果分析：脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数：num1 -2.3647 0.0002 0.0153 0.0995 0.1444 0.0611
axis([0,500,-100,10]);grid;xlabel('
频率 /Hz ');ylabel(' 幅度
/dB'）
title（' 巴特沃思数字低通滤波器'）;
legend（'脉冲相应不变法','双线性变换法',1）;
结果分析：
脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数：
num1 -2.3647 0.0002 0.0153 0.0995 0.1444 0.0611
0.0075 0.0002 3.6569 0
den1 1 -1.9199 2.5324 -2.2053 1.3868 -0.6309
0.2045 -0.0450 0.0060 -0.0004
2.36470.0002Z 0.0153Z 0.0995Z 0.1444Z 0.0611Z 0.0075Z 0.0002Z 3.6569Z
LJ (
1 1.9199Z 2.5324Z 2.2053Z 1.3869Z 0.6309Z 0.2045Z 0.0450Z 0.0060Z 0.0004Z
双线性变换法设计的低通滤波器系统函数
num2
0.0179 0.1072
0.2681 0.3575 0.2681
den2
0.1072
0.0179
-0.6019
0.9130 -0.2989
0.1501
-0.0208
0.0025
H(z)0.0179 0.1072Z 10.2681Z 2 0.3575Z 3 0.2681z 4 0.1072z 5 0.0176z 6
H(z)
0.0179 0.1072Z 1
BJ Figure 1100-10-20-30-50-60-70-80■100□回□口□□ P 晅 lgI口厲 P ◎仏 \
BJ Figure 1
10
0
-10
-20
-30
-50
-60
-70
-80
■100
□回□口
□□ P 晅 lg
I口厲 P ◎
仏 \ ? G '
a
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: : ——脉冲扁应不变法
f厂…-1_腑咖賁换法
分析：脉冲响应不变法的频率变化是线性的， 数字滤波器频谱响应出 现了混叠，影响了过渡带的衰减特性，并且无传输零点；双线性变化 法的频率响应是非线性的，因而消除了频谱混叠，在f=500Hz出有一 个传输零点。
脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， w=Q T,?与Q是线性关系：在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模 仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉 冲响应不变法。
脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带 限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通 ，而高频衰减越大，频 响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不 衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤
掉高于 的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增
加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保 持网络瞬态响应时才采用。
双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，s平面的 虚轴（整个j Q ）对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Q =0处对应于 Z平面的3 =0处，Q二乂处对应于Z平面的3 = n处，即数字滤波器 的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。
双线性变换缺点：Q与3成非线性关系，导致：
数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，
（使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变 ）。
线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非 线性相位。
要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的， 故双线性变换只
能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
（3）利用双线性变换法分别设计满足下列指标的 Butterworth 型、
Chebyshev型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果：
fc=1.2kHz , 0.5dB ,fr=2kHz , At > 40dB, fs=8kHz，比较这
种滤波器的阶数。
MATLA源程序：
clear all;
wc=2*pi*1200;wr=2*pi*2000;rp=0.5;rs=40;fs=8000; w1二 2*fs*ta n(wc/(2*fs));
w2=2*fs*ta n(wr/(2*fs));
[Nb,w n]二buttord(w1,w2,rp,rs,'s') % 巴特沃思
[B,A]=butter(Nb,w n,'s');
[nu m1,de n1]=bili near(B,A,fs);
[h1,w]=freqz (nu m1,de n1);
[Nc,w n]=cheb1ord(w1,w2,rp,rs,'s') % 切比雪夫
[B,A]=cheby1(Nc,rp,w n,'s');
[nu m2,de n2]=bili near(B,A,fs);
[h2,w]=freqz( nu m2,de n2);
[Ne,w n ]=ellipord(w1,w2,rp,rs,'s') % 椭圆型
[B,A]=ellip(Ne,rp,rs,w n, 'low','s');
[nu m3,de n3]=bi lin ear(B,A,fs);
[h3,w]=freqz (nu m3,de n3);
f=w/(2*pi)*fs;
plot(f,20*log10(abs(h1)),'-',f,20*log10(abs(h2)),'--',f,20*
Iog10(abs(h3)),':');
axis([0,4000,-100,10]);grid;
xlabel('Frequency in Hz'); ylabel('Gain in dB');
title(' 三种数字低通滤波器');
legend('巴特沃思数字低通滤波器','切比雪夫数字低通滤波器 椭圆数字低通滤波器',3);
巴特沃思数字低通滤波器的系统函数系数:
num 1= 0.0032 0.01290.0302 0.04530.04530.03020.01290.0032 0.0003den1二
num 1= 0.0032 0.0129
0.0302 0.0453
0.0453
0.0302
0.0129
0.0032 0.0003
den1二-2.7996 4.4581 -4.5412
3.2404
-1.6330
0.5780
-0.1370 0.0197 -0.0013
切比雪夫数字低通滤波器的系统函数系数:
num2= 0.0026 0.0132 0.0264 0.02640.01320.0026den2= 1 -2.97754.2932 -3.5124
num2= 0.0026 0.0132 0.0264 0.0264
0.0132
0.0026
den2= 1 -2.9775
4.2932 -3.5124
1.6145
-0.3334
den3二 1程序结果图:
den3二 1
程序结果图:
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-90
-90
巴侍沃思数字假通滤液器
——切比霄夫数字低通滤液器
——椭圆数字低過滤浪器
-1Q0 「 | |~|
椭圆数字低通滤波器的系统函数系数:
num3= 0.03887 0.0363 0.0665 0.0363 0.0389
-2.1444 2.3658 -1.3250 0.3332
三种数字低通滤液器
10
0 500 1000 1500 200 Q 2500 3000 3500 4000
Frequency in Hz
分析：设计结果表明，巴特沃思数字低通滤波器、切比雪夫数字低 通滤波器、椭圆数字低通滤波器的阶数分别是 9、5、4阶。可见，对 于给定的阶数，椭圆数字低通滤波器的阶数最少 （换言之，对于给定 的阶数，过渡带最窄），就这一点来说，他是最优滤波器。由图表明， 巴特沃思数字低通滤波器过渡带最宽，幅频响应单调下降；椭圆数字 低通滤波器过渡带最窄，并具有等波纹的通带和阻带响应； 切比雪夫 数字低通滤波器的过渡带介于两者之间。
分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一 Butterworth型数 字带通滤波器，已知，其等效的模拟滤波器指标 S <3dB, 2kHzvf
< 3kHz ; At >5dB , f >6kHz ; At > 20dB , f < 1.5kHz。
MATLA源程序：
wp1 = 2*pi*2000;wp2 = 2*pi*3000;
ws仁 2*pi*1500;ws2= 2*pi*6000;
[N1,w n1] = buttord([wp1 wp2],[ws1 ws2],3, 20 ,'s');% 求巴特
沃思滤波器的阶数
[B1,A1] = butter(N1,w n1,'s');% 给定阶数和边界频率设计滤波器
[nu m1,de n1] = impi nvar(B1,A1,30000);% 脉冲相应不变法
[h1,w] = freqz (nu m1,de n1);
w1=2*30000*ta n( 2*pi*2000/(2*30000));
w2=2*30000*ta n( 2*pi*3000/(2*30000));
wr1=2*30000*ta n(2*pi*1500/(2*30000));
wr2=2*30000*ta n( 2*pi*6000/(2*30000));
[N,w n]二buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,'s');% 求巴特沃思滤波
器的阶数
[B,A]=butter(N,w n,'s');
[nu m,de n]=bili near(B,A,30000);% 双线性变化法
[h2,w]=freqz (nu m,de n);
f=w/(2*pi)*30000;
plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');
axis([0,15000,-60,10]);
xlabel('Frequency in Hz'); ylabel('Gain in dB');
grid;
title(' 巴特沃思数字带通滤波器');
legend('脉冲相应不变法','双线性变换法',1);
脉冲相应不变法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分
母多项式系数：
num 仁-1.5158 0.0057 -0.0122 0.0025 0.0089 -0.0049
den 1= 1 -4.8056 10.2376 -12.2625 8.7012 -3.4719
0.6145
双线性变换法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分母
多项式的系数：
num二 0.0014 0 -0.0042 7.1054 0.0042 5.7732 -0.0014
den二 1 -4.8071 10.2473 -12.2838 8.7245 -3.4849 0.6176
利用双线性变换法设计满足下列指标的 Chebyshev型数字带阻
滤波器，并作图验证设计结果：当1kHz f 2kHz时，At 18dB ;当
f 500 Hz 以及 f 3kHz 时， 3dB；采样频率 fs 10kHz。
MATLA源程序：
w1二2*10000*ta n(2*pi*1000/(2*10000));
w2=2*10000*ta n(2*pi*2000/(2*10000));
wr1=2*10000*ta n(2*pi*500/(2*10000));
wr2=2*10000*ta n(2*pi*3000/(2*10000));
[N,wn]=cheb1ord([wr1 wr2],[w1 w2],3,18,'s');% 计算阶数
[B,A]=cheby1(N,3,w n,'stop','s');%给定阶数和参数设计滤波器
[nu m,de n]=bili near(BA 10000)；%双线性变化法
[h,w]=freqz( num,de n);% 频率响应 f=w/(2*pi)*10000;
plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,5000,-120,10]);
grid;xlabel('频率 /Hz');ylabel('幅度 /dB')
title('切比雪夫数字带阻滤波器');
程序结果图：
四、实验思考题
1.双线性变换法中Q和3之间的关系是非线性的，在实验中你注
意到这种非线性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中
可以观察到这种非线性关系？
答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以
一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保 持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中， 可以看到 在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这 是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。
2.能否利用公式 完成脉冲响应不变法的数字滤波
4亍加h
器设计？为什么？
答：IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 ak，bk，它是数 学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则） 去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如 果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。但是它的缺点是，存在频 率混叠效应，故只适用于阻带的模拟滤波器。
五、实验总结
数字滤波器的设计是信号处理方面的重要内容，通过运用
MATLA软件来设计IIR数字滤波器，使我熟悉了 MATLA的强大功能， 同时也对数字滤波器的特点、作用有更深入的理解。了解了熟练的利 用MATLA这一功能强大的软件来设计数字滤波器对数字信号处理这 一领域有着重要的意义与价
1 0.6019Z 1 0.9130Z 2 0.2989z 3 0.1501z 4 0.0208z 5 0.0025z 6
