摘要：本文介绍凸函数在证明詹森（Jensen）不等式、霍尔得（Holder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式、哈达马（Hadamard）定理的简单应用。
关键词：凸函数；不等式；Jensen不等式
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）04-0117-02
凸函数是高等数学及数学分析中的一个重要概念。凸函数本身有着许多很好的性质，掌握和利用好这些性质，能是一些较复杂的问题简单化。本文通过几个实例来说明凸函数在数学分析的一些证明题种的应用。凸函数的定义在不同版本定义有差别，本文采用的定义1：设f（x）在区间I上有定义，f（x）在I上称为凸函数，当且仅当：？坌x1，x2∈I，？坌λ∈（0，1）有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）.
一、利用凸函数证明詹森（Jensen）不等式
若f（x）为区间I上的凸函数，则对任意
xi∈[a，b]，λi>0（i=1，2…，n），■λi=1
有f■λixi≤■λif（xi） （1）
证：应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立。
设n=k时命题成立.即对任意x1，x2，…，xk∈[a，b]及αi>0，i=1，2，…，k，■αi=1，都有f■λixi≤■αif（xi）
现设n=k+1，？坌x1，x2，…，xk，xk+1∈[a，b]及λi>（i=1，2，…，k+1），■λi=1
令αi=■，i=1，2，…k，则■αi=1.由数学归纳法假设可推得：
f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1）
=f（1-λk+1）■+λk+1xk+1≤（1-λk+1）f（α1x1
+α2x2+…+αkxk）+λk+1f（xk+1）≤（1-λk+1）[α1f（x1）+α2f（x2）+
…+αkf（xk）]+λk+1f（xk+1）=（1-λk+1）■f（x1）+■f（x2）+…+■f（xk）+λk+1f（xk+1）=■λk+1f（xk+1）
这就证明了对任何正整数n（≥2），凸函数f（x）f总有不等式（1）成立。
二、利用凸函数证明霍尔得（Holder）不等式
■aibi≤■a■■■■b■■■ （2）
式中ai>0，bi>0，p>1，■+■=1
证明：对（2）式两端p次方后，即：
（■aibi）p≤■a■■■■b■■■ （3）
令qi=biq，aibi=qixi，从而ai=qi■x■ （3）就变为：
（■qixi）p≤■q■■x■■■■■b■■■■
因为■=p-1所以问题归结为证明：
（■■xi）p≤■■xip） （4）
取pi=■，则又归结为证明：（■pixi）p≤■pixip
取f（x）=xp（x>0），则当p>1时，有fn（x）=p（p-1）xp-2>0，
因而f（x）是凸函数，而pi>0，且p1+p2+…+pn=■+■+…+■=1.
由Jensen不等式知（4）式成立，从而结论成立。
三、闵可夫斯基（Minkowski）不等式
设ak>0，bk>0，p>1
求证：（■（ak+bk）■）■≤（■a■■）■+（■b■■）■.
略证：记ck=ak+bk，则
■（a■+b■）■=■a■c■■+■b■c■■=■（a■■）■（c■■）■+■（b■■）■（c■■）■≤（■（a■■）■（■c■■）■+（■b■■）■（■c■■）■
此不等号利用Holder不等式
=[（■a■■）■]+（■b■■）■][■（ak+bk）]■
再注意到1-■=■即证.
此不等式又称为距离不等式.当p=2，n=3时此式表示三角形中任意一边小于另两边之和，此又称三角不等式。
四、利用凸函数证明哈达马（Hadamard）定理
设f（x）为区间[a，b]上的连续凸函数.试证：？坌x1，x2∈[a，b]，x1 f（■）≤■■f（t）dt≤■. 证明：令t=x1+λ（x2-x1），λ∈（0，1），则 ■■f（t）dt=■f（x1+λ（x2-x1））dλ （5） 同理，令t=x2-λ（x2-x1），亦有 ■■f（t）dt=■f（[x2-λ（x2-x1）]dλ 从而■■f（t）dt=■f[（x1+λ（x2-x1）+f（x2-λ（x2-x1））]dλ （6） 注意x1+λ（x2-x1）与x2-λ（x2-x1）关于中点■对称，由于f（x）是凸函数， ■[f（x1+λ（x2-x1）+f（x2-λ（x2-x1））]≥f（■）. 故由（6）得■■f（t）dt≥f（■）. 另外，由（5），应用f（x）的凸性， ■■ f（t）dt=■f[λx2+（1-λ）x1]dλ ≤■[λf（x2）+（1-λ）f（x1）]dλ=f（x2）·■|■■+f（x1）· [-■]|■■=■ 证毕。 值得注意的是Hadamard定理的几何意义非常明显：当 f（x）>0时，曲线f（x）在[x1，x2]上的面积，不小于过点（■， f（■）的任一直线在[x1，x2]的面积，不大于点（x1，f（x1））与点（x2，f（x2））间的弦在[x1，x2]的面积。 参考文献： [1]林源渠.数学分析习题集[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]姜东平，等.数学分析教程[M].南京：南京大学出版社，2000. [3]朱时.数学分析札记[M].贵阳：贵州省教育出版社，1994. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2005. [5]华东师范大学版本.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003. [6]华东师范大学版本.数学分析答案[M].北京：高等教育出版社，2003. 作者简介：尹红然（1982-），女，河北邢台人，硕士，讲师，主要从事张量分析研究。
