关于函数一致连续性的课堂教学与课外延伸

发布时间: 2022-10-19 17:55:03

【摘要】本文对数学分析课程中函数一致连续性教学进行了探讨。在教学过程中要通过实例讲清函数在区间上一致连续的概念，引导学生利用函数一致连续的定义证明命题，并选择有代表性的命题作为习题，使学生从中掌握一些基本的判别方法，鼓励学生查阅课外参考资料，将课堂教学有效向课外延伸，从而提高教学效果。

【关键词】连续一致连续教学

【中图分类号】G64【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）03-0169-01

函数的一致连续性是数学分析中一个非常重要的概念，它贯穿数学分析这门课程的始终，学生能否对该概念真正理解，直接影响着对数学分析后续理论及后续课程的学习。所以教师应在有限的课时内，将函数一致连续性的概念讲清楚，使学生能真正理解、接受，并引导学生查阅有关资料，撰写总结性论文，有效地向课外延伸，以达到对该概念加深理解的目的。

一、通过实例介绍清楚函数在区间上连续和一致连续的区别

设函数f在区间I上连续，即对任意x∈（a，b），函数f点 x连续。对于任意给定的ε>0，对于x1∈（a，b），存在δ■>0，使得当x∈（a，b），且x-x■<δ■时，有f（x）-f（x1）<ε；对于x2∈（a，b），存在δ■>0，使得当x∈（a，b），且x-x■<δ■时，有f（x）-f（x2）<ε 。对无限个x∈（a，b），存在无限个δ■>0 ，在无限个正数δx中是否存在通用的正数δ？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在通用的正数δ，有的不存在通用的正数δ。

例如：f（x）■在（0，1）上连续，对（0，1）上的所有点不存在通用的正数δ。

再如：f（x）=x2 在（0，1）上连续，对（0，1）上的所有点存在通用的正数δ。

最后：交代给学生：把在区间上存在通用正数δ的连续函数称为区间上的一致连续函数，并给出函数在区间上一致连续的定量定义。

定义1[1] 设函数f在区间I上有定义，若？坌ε>0，？埚δ=δ（ε）>0，只要x1，x2∈I，且x1-x■<δ，就有f（x1）-（x2）<ε，则称函数f 在区间I上一致连续。

接下来利用对偶法则，引导学生叙述函数在区间I上不一致连续的定量描述。

f在区间I不一致连续：存在ε0>0，对任何的δ>0（无论 δ多么小），总存在两点x1，x2∈I，满足x1-x■<δ，但f（x1）-f（x2）≥ε0。

二、通过例题引导学生利用函数一致连续的定义证明命题

由于课时有限的原因，在课堂上只能证明几个基本命题。例如：

命题1[1] 若函数f在区间I上满足Lipschitz条件：？埚L>0，？坌x1，x2∈I有f（x1）-f（x2）≤Lx1-x■，则f在区间I 一致连续。

命题2 若f 在区间I1上一致连续，在区间I2上也一致连续，且I1 ∩I2 ≠？覫，则f在区间I1 ∪I2 上一致连续。

命题3[1] （Cantor定理）：若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在闭区间[a，b]上一致连续。

函数在区间上的一致连续性是函数在区间上整体变化的一种衡量。引导学生观察函数图象，使学生能从函数图象的特点，对函数的一致连续性做出初步判断：